Claus Köpcke wuchs in Borstel als ältestes von zehn Kindern auf. Er war auf den Namen seines Großvaters väterlicherseits getauft.
Sein Vater war Obsthändler und da die Geschäfte gut liefen, konnten alle seine Söhne studieren, bis auf Johann, der der Nachfolger des Vaters wurde.
Claus besuchte die Kirchspielschule in Borstel bis zu seiner Konfirmation 1847. Er wechselte auf das Athenaeum in Stade, wo er 1848 in die dortige Secunda aufgenommen wurde. Dem Wunsch der Mutter, dass er Geistlicher werden sollte, folgte er nicht, stattdessen studierte er in Hannover Ingenieurswesen.
Im hannoverschen Staatsdienst war er zunächst mit Hafenbauten in Harburg und Geestemünde beschäftigt, bevor er 1863 an die Generaldirektion der Königlich Hannoverschen Staatsbahn wechselte.
1868 wurde er zum Professor an die Technische Hochschule in Dresden berufen. Ab 1872 wirkte er im Rang eines „Geheimen Finanzrates” im sächsischen Finanzministerium.
Sein bekanntestes Werk, heute eines der Wahrzeichen der Stadt Dresden, ist die 1893 eröffnete, wegen ihres blauen Anstrichs volkstümlich als „Blaues Wunder” bekannte Loschwitzer Brücke in Dresden, eine kühne Stahlkonstruktion, die als eine der ersten strompfeilerfreien Brücken die Elbe überspannt.
1901 verlieh ihm die Universität Hannover anlässlich seines 70. Geburtstages die Ehrendoktorwürde. Dresden verlieh ihm zum 80. Geburtstag den Titel „Exzellenz” und „Wirklicher Geheimer Rat“.
1946 wurde die Straße vor dem Finanzministerium in der Inneren Neustadt in Dresden in Köpckestraße umbenannt.
Der Verein zur Förderung Sächsischer Schmalspurbahnen e.V. verleiht seit 2003 den „Claus-Köpcke-Preis“.